Question

已知函数f（x）=ax2-（a+2）x+lnx（1）若a=1，求函数f（x）的极值；（2）当a＞0时，若f（x）在区间[1，e]

已知函数f（x）=ax2-（a+2）x+lnx（1）若a=1，求函数f（x）的极值；（2）当a＞0时，若f（x）在区间[1，e]的最小值为-2，求a的取值范围．

Answer 1

（1）a=1，f（x）=x²-3x+lnx，定义域为（0，+∞），
又f′(x)＝2x?3+

1

x

＝

2x2?3x+1

x

＝

(2x?1)(x?1)

x

当x＞1或0＜x＜

1

2

时f'（x）＞0；当

1

2

＜x＜1时f'（x）＜0
所以函数f（x）的极大值=f(

1

2

)＝?

5

4

?ln2，
函数f（x）的极小值=f（1）=-2．
（2）函数f（x）=ax²-（a+2）x+lnx的定义域为（0，+∞），
当a＞0时，f′(x)＝2ax?(a+2)+

1

x

＝

2ax2?(a+2)x+1

x

＝

(2x?1)(ax?1)

x

，
令f'（x）=0，则x＝

1

2

或x＝

1

a

，
①当0＜

1

a

≤1，即a≥1时，f（x）在[1，e]上单调递增，
所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）=-2；
②当1＜

1

a

＜e时，f（x）在[1，e]上的最小值是f（

1

a

）＜f（1）=-2，不合题意；
③当

1

a

≥e时，f（x）在[1，e]上单调递减，
所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（e）＜f（1）=-2，不合题意．
故a的取值范围为[1，+∞）．