Question

已知函数f（x）=ex-ax+a（Ⅰ）若a=e，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a＞0，且对任意x∈R，f（|x|）＞0

已知函数f（x）=ex-ax+a（Ⅰ）若a=e，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a＞0，且对任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）=e^x-ax+a，
∴当a=e时，f（x）=e^x-ex-e，
∴f'（x）=e^x-e，
令f'（x）＞0，解得x＞1，令f'（x）＜0，解得x＜1，
∴f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（-∞，0）；
（2）显然f（|x|）是偶函数，
∴f（|x|）＞0对任意x∈R恒成立，等价于f（x）＞0对任意x∈[0，+∞）恒成立，
令f'（x）=e^x-a=0，解得x=lna，
①当a∈（0，1]时，f'（x）＞1-a≥0（x＞0），
∴f（x）在[0，+∞）上为增函数，
∴f（x）≥f（0）=1+a＞0，
∴当a∈（0，1]时，符合题意；
②当a∈（1，+∞）时，lna＞0，列表分析：

x	（0，lna）	lna	（lna，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	单调递减	极小值	单调递增

∴f（x）_min=f（lna）＞0，
∴a＜e²，且a＞1，
∴1＜a＜e²．
综合①②可得，实数a的取值范围为（0，e²）．