Question

若函数f（x）=x3-3a2x+2（a＞0）有三个零点，则正数a的范围是______

若函数f（x）=x3-3a2x+2（a＞0）有三个零点，则正数a的范围是______．

Answer 1

∵f（x）=x³-3a²x+2，
∴f'（x）=3x²-3a²，
令f'（x）=0，
解得：x₁=-a，x₂=a，
∵在（-∞，-a）上，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，
在（-a，a）上，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，
在（a，+∞）上，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增．
若函数y=f（x）有三个零点，等价于函数y=f（x）与x轴有三个交点，
于是

f(?a)＞0?2a3+2＞0?a＞?1 f(a)＜0??2a3+2＜0?a＞1

，
又a＞0，
综上：正数a的取值范围是：a＞1，
故答案为：a＞1

Answer 2

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Answer 3

∵f（x）=x3-3a2x+2，
∴f'（x）=3x2-3a2，
令f'（x）=0，
解得：x1=-a，x2=a，
∵在（-∞，-a）上，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，
在（-a，a）上，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，
在（a，+∞）上，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增．
若函数y=f（x）有三个零点，等价于函数y=f（x）与x轴有三个交点，
于是

f(−a)＞0⇒2a3+2＞0⇒a＞−1
f(a)＜0⇒−2a3+2＜0⇒a＞1

，
又a＞0，
综上：正数a的取值范围是：a＞1，
故答案为：a＞1