Question

已知函数f（x）=x3+（4-a）x2-15x+a，a∈R．（I）若点P（0，-2）在函数f（x）的图象上，求a的值和函数f（

已知函数f（x）=x3+（4-a）x2-15x+a，a∈R．（I）若点P（0，-2）在函数f（x）的图象上，求a的值和函数f（x）的极小值；（II）若函数f（x）在（-1，1）上是单调递减函数，求a的最大值．

Answer 1

（I）∵点P（0，-2）在函数f（x）的图象上
∴a=-2
∴f（x）=x³+6x²-15x-2
∴f′（x）=3x²+12x-15=3（x-1）（x+5）
令f′（x）=0，解得x=-5或x=1
令f′（x）＜0，解得-5＜x＜1，∴函数的单调减区间为（-5，1）
令f′（x）＞0，解得x＜-5或x＞1，∴函数的单调增区间为（-∞，-5），（1，+∞）
∴x=1时，函数f（x）取到极小值为f（x）=1+6-15-2=-10
（II）f′（x）=3x²+2（4-a）x-15
要使函数f（x）在（-1，1）上是单调递减函数，则f′（x）≤0在（-1，1）上恒成立
∴

f′(?1)≤0 f′(1)≤0

∴

3?2(4?a)?15≤0 3+2(4?a)?15≤0

∴

2a?20≤0 ?2a?4≤0

∴-2≤a≤10
∴a的最大值为10．