Question

已知二次函数y=-x2+2ax-4a+8（1）求证：无论a为任何实数，二次函数的图象与x轴总有两个交点．（2）当x≥2

已知二次函数y=-x2+2ax-4a+8（1）求证：无论a为任何实数，二次函数的图象与x轴总有两个交点．（2）当x≥2时，函数值y随x的增大而减小，求a的取值范围．（3）以二次函数y=-x2+2ax-4a+8图象的顶点A为一个顶点作该二次函数图象的内接正三角形AMN（M，N两点在二次函数的图象上），请问：△AMN的面积是与a无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

（1）∵△=4a²-16a+32=4（a-2）²+16，
无论a为何实数△=4（a-2）²+16＞0，
∴抛物线与x轴总有两个交点．

（2）∵y=-x²+2ax-4a+8，
∴y=-（x-a）²+a²-4a+8，
∴由题意得，对称轴在x=2的左侧或与x=2重合，
故a≤2．

（3）如图：

解法一：以二次函数y=-x²+2ax-4a+8图象的顶点A为一个顶点作该二次函数图象的内接正三角形AMN（M，N两点在二次函数的图象上），
这个正三角形的面积只与二次函数图形的开口大小有关．
二次函数y=-x²+2ax-4a+8的图象可以看做是二次函数y=-x²的图象通过平移得到的．
如图，正三角形AMN的面积等于正三角形△A'M'N'的面积．
因此，与a的取值无关，
∵点A'，M'，N'在二次函数y=-x²的图象上，
∴A'（0，0），M'（-m，-m²），N'（m，-m²），B'（0，-m²），B'N'=m，A′B′＝

3

m，
∵点N'在y=-x²的图象上，
∴A'B'=m²，
∴m2＝

3

m，
∴m＝0，或m＝

3

m=0（舍去），
∴m＝

3

，
∴M′N′＝2

3

，A'B'=3，
∴△A′M′N′＝

1

2

M′N′×A′B′＝

1

2

2

3

×3＝3

3

，
∴正三角形AMN的面积是与a无关的定值，定值为3

3

．
解法二：根据抛物线和正三角形的对称性，可知MN⊥y轴，
设抛物线的对称轴与MN交于点B，则AB＝

3

BM，
设M（m，n），
∴BM=a-m（m＜a），
又AB=y_A-y_B=a²-4a+8-n
=（a²-4a+8）-（-m²+2am-4a+8）

＝a2?2ma+m2 ＝(a?m)2

∴(a?m)2＝

3

(a?m)，
∴a?m＝

3

，
∴BM＝

3

，AB=3，
∴S△AMN＝

1

2

AB×2BM＝

1

2

×3×2×

3

＝3

3

，
∴正三角形AMN的面积是与a无关的定值．