Question

求微分方程（3x2+2xy-y2）dx+（x2-2xy）dy=0的通解

求微分方程（3x2+2xy-y2）dx+（x2-2xy）dy=0的通解．

Answer 1

令 y=xu，则 u＝

y

x

，且

dy

dx

＝u+x

du

dx

．
由 （3x²+2xy-y²）dx+（x²-2xy）dy=0 可得

dy

dx

＝?

3x2+2xy?y2

x2?2xy

=?

u2?2u?3

2u?1

，
所以 x

du

dx

＝

dy

dx

?u=?

3(u2?u?1)

2u?1

．
利用分离变量可得，

2u?1

u2?u?1

du＝?

3

x

dx，
两边积分可得
ln|u²-u-1|=-3ln|x|+C，
故 u²-u-1=

C

x3

．
将 u＝

y

x

 代入，可得
y²-xy-x²=

C

x

．