Question

设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y'+p(x)y=Q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+μ

设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y'+p(x)y=Q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解，求常数λ，μ

Answer 1

y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y'+p(x)y=Q(x)的两个特解，

所以，

y1'+p(x)y1=Q(x)

y2'+p(x)y2=Q(x)

λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，

所以，

(λy1+μy2)'+p(x)(λy1+μy2)

=λ[y1'+p(x)y1]+μ[y1'+p(x)y1]

=λQ(x)+μQ(x)

=Q(x)

∴ λ+μ=1

λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解，

所以，

(λy1-μy2)'+p(x)(λy1-μy2)

=λ[y1'+p(x)y1]-μ[y1'+p(x)y1]

=λQ(x)-μQ(x)

=0

∴ λ-μ=0

∴λ=μ=1/2

微分方程

是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。

Answer 2

y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y'+p(x)y=Q(x)的两个特解，
所以，
y1'+p(x)y1=Q(x)
y2'+p(x)y2=Q(x)
λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，
所以，
(λy1+μy2)'+p(x)(λy1+μy2)
=λ[y1'+p(x)y1]+μ[y1'+p(x)y1]
=λQ(x)+μQ(x)
=Q(x)
∴ λ+μ=1
λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解，
所以，
(λy1-μy2)'+p(x)(λy1-μy2)
=λ[y1'+p(x)y1]-μ[y1'+p(x)y1]
=λQ(x)-μQ(x)
=0
∴ λ-μ=0

∴λ=μ=1/2

追问

谢谢啦