Question

已知圆C：x 2 +（y-1） 2 =5，直线l：mx-y+1-m=0。（Ⅰ）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点；（

已知圆C：x 2 +（y-1） 2 =5，直线l：mx-y+1-m=0。（Ⅰ）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点；（Ⅱ）设l与圆C交与不同的两点A、B，求弦AB的中点M的轨迹方程；（Ⅲ）若定点P（1，1）分弦AB为 ，求此时直线l的方程。

Answer 1

（Ⅰ）证明：圆C： 的圆心为C（0，1），半径为 ， ∴圆心C到直线 ：mx-y+1-m=0的距离 ， ∴直线 与圆C相交，即直线 与圆C总有两个不同交点。 （Ⅱ）解：当M与P不重合时，连结CM、CP，则CM⊥MP， ∴ ， 设 ，则 ， 化简，得 ， 当M与P重合时，x=1，y=1也满足上式， 故弦AB中点的轨迹方程是 。 （Ⅲ）解：设 ， 由 ，得 ， ∴ ，化简得 ，                                            ① 又由 ，消去y，得 ， （*） ∴ ，                                                                              ② 由①②，解得 ， 代入（*）式，解得 ， ∴直线 的方程为x-y=0或x+y-2=0。