Question

已知椭圆G： x 2 4 +y 2 =1，过点（m，0）作圆x 2 +y 2 =1的切线l交椭圆G于A、B两点．（

已知椭圆G： x 2 4 +y 2 =1，过点（m，0）作圆x 2 +y 2 =1的切线l交椭圆G于A、B两点．（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（2）当m变化时，求S △OAB 的最大值．

Answer 1

（1）椭圆G： x 2 4 +y 2 =1中，a=2，b=1，∴ c= a 2 - b 2 = 3 ∴椭圆G的焦点坐标为（ ± 3 ，0），离心率 e= c a = 3 2 ； （2）由题意知，|m|≥1 当m=±1时，切线l的方程为x=±1，此时|AB|= 3 ； 当|m|＞1时，设l为y=k（x-m），代入椭圆方程可得（1+4k 2 ）x 2 -8k 2 mx+4k 2 m 2 -4=0 设A、B的坐标分别为（x 1 ，y 1 ），（x 2 ，y 2 ），则x 1 +x 2 = 8 k 2 m 1+4 k 2 ，x 1 x 2 = 4 k 2 m 2 -4 1+4 k 2 ∵l与圆x 2 +y 2 =1相切，∴ |km| k 2 +1 =1，即m 2 k 2 =k 2 +1 ∴|AB|= 1+ k 2 × ( x 1 + x 2 ) 2 -4 x 1 x 2 = 4 3 |m| m 2 +3 = 4 3 |m|+ 3 |m| ≤2（当且仅当m=± 3 时取等号） ∴|AB|的最大值为2， ∴S △OAB 的最大值为 1 2 ×2×1 =1