Question

（2012?黄陂区模拟）如图，Rt△ACD中，∠ACD=90°．以AC边为直径作⊙O，交AD于E．过E作⊙O的切线EB，交CD

（2012?黄陂区模拟）如图，Rt△ACD中，∠ACD=90°．以AC边为直径作⊙O，交AD于E．过E作⊙O的切线EB，交CD于B．连接EC、AB，交于F点．（1）求证：EB＝12CD；（2）若EFFC＝13，求tan∠ABC的值．

Answer 1

（1）证明：∵AC是⊙O的直径，
∴∠AEC=90°，
∴∠DEC=90°．
∵∠ACB=90°，
∴CB是⊙O的切线，
又EB是⊙O的切线，
∴BC=BE，
∴∠BEC=∠BCE，
可得∠DEB=∠D．
∴BE=BD，
∴BE=

1

2

CD；

（2）解：连接OB，交EC于G．
可得OB⊥EC，EG=CG．
∴AE∥BG．
∵

EF

FC

＝

1

3

，可得EF=FG．
∵AE∥BG，
∴△AEF≌△BGF，得BG=AE，
设BG=AE=2x，
∴OG=x．
∵CG⊥OB，∠OCB=90°，
可得OC=

3

x，BC=

6

x．
在Rt△ACB中，∵AC=2OC=2

3

x，BC=

6

x．
∴tan∠ABC=

AC

BC

＝

2 3 x

6 x

＝

2

．