Question

如图，在平面直角坐标系中，已知直线y=-x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=mx2+nx+3经过点A和点（2，3

如图，在平面直角坐标系中，已知直线y=-x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=mx2+nx+3经过点A和点（2，3），与x轴的另一交点为C．（1）求此二次函数的表达式；（2）若点P是x轴下方的抛物线上一点，且△ACP的面积为10，求P点坐标；（3）若点D为抛物线上AB段上的一动点（点D不与A，B重合），过点D作DE⊥x轴交x轴于F，交线段AB于点E．是否存在点D，使得四边形BDEO为平行四边形？若存在，请求出满足条件的点D的坐标；若不存在，请通过计算说明理由．

Answer 1

（1）在y=-x+3中，当y=0，x=3，
∴A（3，0）…（1分）
把A（3，0），（2，3）代入y=ax²+bx+3，
得

9m+3n+3=0 4m+2n+3=3

，
解得

m=-1 n=2

，
∴y=-x²+2x+3…（4分），

（2）在y=-x²+2x+3中，当y=0时，有-x²+2x+3=0，
∴x₁=3，x₂=-1，
∴C（-1，0），
∴AC=4  …（5分），
设P（x_p，y_p）．
∴S_△ACP=

1

2

AC?|yp|=

1

2

×4|yp|=10，
∴|y_P|=5，
又∵P点在x轴下方，
∴y_P=-5…（7分），
∴-5=-x²+2x+3，
∴x₁=4，x₂=-2，
∴P坐标为（4，-5）或（-2，-5）…（8分）．

（3）不存在…（9分），
∵DE⊥x轴，OB⊥x轴，
∴DE∥OB．
若四边形BDEO为平行四边形，则DE=BO．
设D（a，-a²+2a+3），
∵E在直线AB：y=-x+3上．
∴E（a，-a+3），
∴DE=y_D-y_E=-a²+2a+3-（-a+3）=-a²+3a．
当DE=BO时，有-a²+3a=3．…（11分）
即a²-3a+3=0，△=9-12＜0，
∴方程无实数根．…（12分）
即DE≠BO，
∴不存在点D，使四边形BDEO为平行四边形．…（13分）