Question

如图，∠MON=90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动，BE平分∠NBA，BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点C

如图，∠MON=90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动，BE平分∠NBA，BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点C．（1）当A，B移动后，∠BAO=45°时，则∠C=______；（2）当A，B移动后，∠BAO=60°时，则∠C=______；（3）由（1）、（2）猜想∠C是否随A，B的移动而发生变化？并说明理由．

Answer 1

（1）根据三角形的外角性质，∠ABN=∠AOB+∠BAO=90°+45°=135°，
∵BE平分∠NBA，AC平分∠BAO，
∴∠ABE=

1

2

∠ABN=67.5°，∠BAC=

1

2

∠BAO=22.5°，
∴∠C=∠ABE-∠BAC=67.5°-22.5°=45°；

（2）根据三角形的外角性质，∠ABN=∠AOB+∠BAO=90°+60°=150°，
∵BE平分∠NBA，AC平分∠BAO，
∴∠ABE=

1

2

∠ABN=75°，∠BAC=

1

2

∠BAO=30°，
∴∠C=∠ABE-∠BAC=75°-30°=45°；

（3）∠C不会随A、B的移动而发生变化．
理由如下：根据三角形的外角性质，∠ABN=∠AOB+∠BAO，
∵BE平分∠NBA，AC平分∠BAO，
∴∠ABE=

1

2

∠ABN，∠BAC=

1

2

∠BAO，
∴∠C=∠ABE-∠BAC=

1

2

（∠AOB+∠BAO）-

1

2

∠BAO=

1

2

∠AOB，
∵∠MON=90°，
∴∠AOB=∠MON=90°，
∴∠C=45°．

Answer 2

∠ABN=90°+∠BAO，所以∠ABE=1/2∠ABN=45°+1/2∠BAO，△ABC中，∠ABE=∠C+∠BAC，又∠BAC=1/2∠BAO，所以∠C=ABE-∠BAC=45°+1/2∠BAO-1/2∠BAO=45°。
因此∠C与A、B的位置无关