Question

如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过三点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），它的顶点为M，又正比例

如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过三点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），它的顶点为M，又正比例函数y=kx的图象于二次函数相交于两点D、E，且P是线段DE的中点．（1）求该二次函数的解析式，并求函数顶点M的坐标；（2）已知点E（2，3），且二次函数的函数值大于正比例函数时，试根据函数图象求出符合条件的自变量x的取值范围；（3）0＜k＜2时，求四边形PCMB的面积s的最小值．【参考公式：已知两点D（x1，y1），E（x2，y2），则线段DE的中点坐标为(x1+x22，y1+y22)】

Answer 1

（1）由y=ax²+bx+c，则得

a?b+c＝0 9a+3b+c＝0 c＝3

，
解得

a＝?1 b＝2 c＝3

，
故函数解析式是：y=-x²+2x+3．
由y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4知，
点M（1，4）．

（2）由点E（2，3）在正比例函数y=kx的图象上得，3=2k，得k=

3

2

，
故y=

3

2

x，
由

y＝ 3 2 x y＝?x2+2x+3

，
解得D点坐标为（?

3

2

，?

9

4

），
由图象可知，当二次函数的函数值大于正比例函数时，自变量x的取值范围是-

3

2

＜x＜2．

（3）

y＝kx y＝?x2+2x+3

，
解得，点D、E坐标为D（

2?k? k2?4k+16

2

，

2?k? k2?4k+16

2

?k）、
E（

2?k+ k2?4k+16

2

，

2?k+ k2?4k+16

2

?k），
则点P坐标为P（

2?k

2

，

2?k

2

?k）由0＜k＜2，知点P在第一象限．
由点B（3，0），C（0，3），M（1，4），
得S_{四边形COBM}=

1×(3+4)

2

+

1

2

×2×4＝

15

2

，
则S_{四边形PCMB}=

15

2

?S△OPC?S△OPB＝

15

2

?

1

2

×3×

2?k

2

?

1

2

×3×

2?k

2

?k，
整理，配方得S_{四边形PCMB}=

3

4

(k?

1

2

)2+

93

16

．
故当k＝

1

2

时，四边形PCMB的面积值最小，最小值是

93

16

．