Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，CB=3CG（Ⅰ）求证：PC⊥

如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，CB=3CG（Ⅰ）求证：PC⊥BC；（Ⅱ）求三棱锥C-DEG的体积；（Ⅲ）AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG．若存在，求AM的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

解答：（Ⅰ）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC
又∵ABCD是正方形∴BC⊥CD
∵PD∩CD=D
∴BC⊥平面PCD…（3分）
又∵PC?面PBC
∴PC⊥BC…（4分）
（Ⅱ）解：∵BC⊥平面PCD，
∴GC是三棱锥G-DEC的高  …（5分）
∵E是PC的中点，
∴S△EDC＝

1

2

S△EDC＝

1

2

S△PDC＝

1

2

?(

1

2

?2?2)＝1…（6分）
∴VC?DEG＝VG?DEC＝

1

3

GC?S△DEC＝

1

3

?

2

3

?1＝

2

9

…（8分）
（Ⅲ）解：连结AC，取AC中点O，连结EO，GO，延长GO交AD于点M，则PA∥平面MEG…（9分）
下面证明之
∵E为PC的中点，O是AC的中点，
∴EO∥PA，…（10分）
又∵EO?平面MEG，PA?平面MEG
∴PA∥平面MEG…（11分）
在正方形ABCD中，∵O是AC的中点，∴△OCG≌△OAM，
∴AM＝CG＝

2

3

，∴所求AM的长为

2

3

．…（12分）