Question

一质点再半径R=1m的圆周上沿顺时针方向运动，开始时位置在A点，如图所示，质点运动的路程与时间的关

一质点再半径R=1m的圆周上沿顺时针方向运动，开始时位置在A点，如图所示，质点运动的路程与时间的关系未S=πt²+πt(国际单位制)求：
⑴质点从A点出发，绕圆运行一周通过的路程、位移、平均速度和平均速率各为多少？
⑵t=1s时的瞬时速度、瞬时速率，瞬时加速度各为多少？

Answer 1

第一问
质点从A点出发，绕圆运行一周通过的路程是2πR=2π m；
质点从A点出发，绕圆运行一周通过的位移是0；
质点从A点出发，绕圆运行一周通过的平均速度是0；
绕行一周路程S=πt²+πt=2π，解得t=1s，所以平均速率
v=S/t=2π/1 m/s=2π m/s。

第二问
对S=πt²+πt 关于时间求导，可得
v=dS/dt=2πt+π
当t=1时，瞬时速度V=3π m/s，方向是A点的切线方向。
瞬时速率也为3π m/s。

对S=πt²+πt 关于时间二次求导，可得
切向加速度a₁=2π m/s²
而法向加速度a₂=v²/R=9π²/1 m/s² =9π² m/s²，则瞬时加速度为
a=√(a₁²+a₂²)=√(4π²+81π⁴) m/s²=π√(4+81π²) m/s²
设a与半径方向的夹角为α，则有
tanα=a₁/a₂=2π/9π²=2/9π
所以α=arctan(2/9π)。