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本题用可分离变量法，计算微分方程的解:
xy＇=y丨ny/x
y′=y/x1ny/x，设y/x=u，则
y=xu
dy=udx+xdu，
dy/dx=u+xdu/dx=u1nu，
xdu/dx=u(1nu-1)，
∫d1nu/(1nu-1)=∫dx/x
1n丨1nu-1丨=1nx+C
∵ⅹ=1，y=e^2
∴c=0
代入求得y=-1。
本题要注意y/x>0，即y，x要同符号。
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上海华然企业咨询
2024-10-28 广告
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xy'=yln(y/x) 变形得
y'=dy/dx=(y/x)·ln(y/x)
令p=y/x，则y=p·x
则dy/dx=p+x·dp/dx
则原式为
p+x·dp/dx=p·ln(p)
整理得dp/{p·[ln(p)-1]}=dx /x
两边积分得
左边=∫dp/{p·[ln(p)-1]}=∫dln(p)/[ln(p)-1]=ln[ln(p)-1]
右边=ln|x|+ln|C|
即ln[ln(p)-1]=ln|x|+ln|C|
即ln(p)-1=Cx
p=e^(C·x+1)
即y/x=e^(C·x+1)
y=x·e^(C·x+1)
把x=1，y=e²代入得
e²=e^(C+1)
C=1
y=x·e^(x+1),
当x=-1时，y=-1
y'=dy/dx=(y/x)·ln(y/x)
令p=y/x，则y=p·x
则dy/dx=p+x·dp/dx
则原式为
p+x·dp/dx=p·ln(p)
整理得dp/{p·[ln(p)-1]}=dx /x
两边积分得
左边=∫dp/{p·[ln(p)-1]}=∫dln(p)/[ln(p)-1]=ln[ln(p)-1]
右边=ln|x|+ln|C|
即ln[ln(p)-1]=ln|x|+ln|C|
即ln(p)-1=Cx
p=e^(C·x+1)
即y/x=e^(C·x+1)
y=x·e^(C·x+1)
把x=1，y=e²代入得
e²=e^(C+1)
C=1
y=x·e^(x+1),
当x=-1时，y=-1
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