Question

在三角形ABC中,AD是边BC上的中线,点E在线段BD上,且BE=ED，过B做BF平行AC，交线段AE的延长线与点F

求证一AC=3BF
二如果AE=根号3ED，求证AD*AE=AC*BE
重点是第二问

Answer 1

1，证明：因为BF平行AC，所以角F=角EAC,角EBF=角C,所以三角形BEF和三角形CAE,，所以BF/AC=BE=ED,，因为BE=ED BD=DC，所以EF/AE=BE/BC BE=BC/3，所以AE=3EF AC=3BF
2，因为角BEF=角AED,，所以cos<BEF=cos<AED，BE=DE BD=DC,，所以BCE/DE=1/3 因为AE=根号3ED 在三角形BEF中和三角形AED中，由余弦定理得：cos<BEF=(BE^2+EF^2-BF^2)/2BE*EF cos<AED=(AE^2+ED^2-AD^2)/2AE*ED，所以(ED^2+ED^2/3-AC^2/9)/(2ED*3分之根号3ED)=(3ED^2+ED^2-AD^2)/(2ED*根号3ED),，所以等式整理得：AC^2=3AD^2,，即AC=根号3AD,，因为AE=根号3ED，所以AE=根号3BE所以两式相除得：AC/BEE=AD/ED，所以AD*AE=AC*BE

Answer 2

BF平行于AC，得三角形BEF于CEA相似，各边成比例，所以AC是BF的三倍；由AE是根3的ED可以算出，比例AE比DE等于CE比AE都等于根3，所以三角形AED相似于CEA，因此各边对应成比例