Question

求∫(-1→1)dx ∫(0→x²)√(x²-y)dy二重积分的值

这是我用两种不同方法算出来的答案，分别是1/3和0，请问究竟哪个答案才是对的？

Answer 1

第二种方法是对的。

因为第一种题目的解答错在，错误的判断这个函数里面是偶函数，其实并不能判断是偶函数。

第二中在解题的方法：是对的。但是，其实有点复杂。可以先积分后面一部分，然后判断前面是奇函数。最后为0。具体过程如下。

追答

第二种方法是对的。
因为第一种题目的解答错在，错误的判断这个函数里面是偶函数，其实并不能判断是偶函数。
第二中在解题的方法：是对的。但是，其实有点复杂。可以先积分后面一部分，然后判断前面是奇函数。最后为0。具体过程如下。

第二种方法是对的。
因为第一种题目的解答错在，错误的判断这个函数里面是偶函数，其实并不能判断是偶函数。
第二中在解题的方法：是对的。但是，其实有点复杂。可以先积分后面一部分，然后判断前面是奇函数。最后为0。具体过程如下。

追问

但是，设f(x,y)=√(x²-y)的话，f(x,y)的确是关于x的偶函数啊，然后书上又说如果定义域关于y轴对称，而f(x,y)又是关于x的偶函数的话，它的二重积分的值就等于该函数在定义域的一半的积分值的两倍。那难道说是书上写错了吗？

Answer 2

第二种做法是正确的，其实你直接求就可以，求出第一个积分后得到的函数是奇函数，它在对称区间上的积分为零。

追问

但是，设f(x,y)=√(x²-y)的话，f(x,y)的确是关于x的偶函数啊，然后书上又说如果定义域关于y轴对称，而f(x,y)又是关于x的偶函数的话，它的二重积分的值就等于该函数在定义域的一半的积分值的两倍。那难道说是书上写错了吗？

追答

它的原函数是奇函数，在对称区间上的积分为零。书上没错。