Question

高数格林公式的应用

设简单闭曲线不过Y轴，证明L所围面积S=1/2∫x²d(y/x)

Answer 1

设二元函数U=y/x，
则U的全微分dU=d(y/x)=Uxdx+Uydy=(-y/xx)dx+dy/x★
把★代入原积分式中，得到，沿正向封闭曲线L的曲线积分
∫xxd(y/x)=∫-ydx+xdy★★
令★★中的-y=P，x=Q，则有(偏P/偏y)=-1，(偏Q/偏x)=1，
用格林公式，得到
★★=∫∫〔在L所围的区域D上〕【2】dxdy=2*D的面积。