Question

试证明，当n大于等于三时，n元对称群Sn是无中心群。抽象代数「近世代数」

Answer 1

若Sn有中心，则存在中心元a≠(1),对n中某两个不同数i和j有ia=j,设k≠i,j，b=(j,k)。

则i(b-1ab)=jb=k,但ia=j，所以b-1ab≠a，与a是中心元矛盾。

简介

群是数学最重要的概念之一，已渗透到现代数学的所有分支及其他学科中。凡是涉及对称，就存在群。例如，可以用研究图形在变换群下保持不变的性质，来定义各种几何学，即利用变换群对几何学进行分类。可以说，不了解群，就不可能理解现代数学。

1770年，拉格朗日在讨论代数方程根之间的置换时，首先引入群的概念，而它的名称，是伽罗华在1830年首先提出的。

Answer 2

若Sn有中心，则存在中心元a≠(1),对n中某两个不同数i和j有ia=j,设k≠i,j，b=(j,k)
则i(b-1ab)=jb=k,但ia=j，所以b-1ab≠a，与a是中心元矛盾。

Answer 3

设c为n次对称群的中心，若n次对称群为交换群，则c的阶数大于1，取c中的元d(d为一个置换)，则d(ij)=(i j)d，d的逆乘(i j)乘d等于(i j)，d为恒等置换

Answer 4

对Sn中的任一元素σ, 如果它不是单位元(1), 则存在某两个数i和j, i≠j且它们都是小于等于n的正整数, 使得σ(i)=j≠i. 据此另外取得二元变换τ=(ik), 使得k是异于i和j的数, 则τστ^(-1)作用在i上等于k, 故σ≠τστ^(-1)不是Sn的中心元素, Sn的中心是平凡群.