Question

设双曲线C=y^2-x^2/3=1的两个焦点分别为F1,F2,离心率为2.

设双曲线C=y^2-x^2/3=1的两个焦点分别为F1,F2,离心率为2.
过点N(1,0)能否作出直线l,使l与双曲线C交于P,Q两点,且向量OP*向量OQ=0,若存在,求出直线方程,若不存在,请说明理由.

设正项数列{an}的前n项和Sn满足Sn=1/4[(an+1)^2].
证明:an=2n-1

Answer 1

1.显然直线y=0与双曲线没有交点.
设l:x=my+1,
代入y^2-x^2/3=1,得
（3-m^2)y^2-2my-4=0,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则
y1+y2=2m/(3-m^2),y1y2=-4/(3-m^2),
x1x2=(my1+1)(my2+1)
=m^2y1y2+m(y1+y2)+1
=(-4m^2+2m^2+3-m^2)/(3-m^2)
=(3-3m^2)/(3-m^2),
向量OP*OQ=x1x2+y1y2
=(-1-3m^2)/(3-m^2)≠0.
∴不存在满足题设的直线l.

2.Sn=1/4[(an+1)^2].①
n=1时a1=s1=(1/4)(a1+1)^2,
(a1-1)^2=0,a1=1.
n>1时S<n-1>=(1/4)[a<n-1>+1]^2,②
①-②，an=(1/4)(an-a<n-1>)(an+a<n-1>+2),
an^2-a<n-1>^2-2(an+a<n-1>)=0,
∴（an+a<n-1>）（an-a<n-1>-2）=0,
{an}是正项数列，
∴an=a<n-1>+2,
∴an=1+2(n-1)=2n-1.

Answer 2

设直线方程为y=kx-k,与双曲线联立解关于x的方程，即：（k^2-1/3)x^2-2k^2x+k^2-1=0设OP向量为（X1，Y1),OQ向量为（X2，Y2)则要使X1Y1×Y1Y2=0用X1表示Y1，X2表示Y2即（k^2+1)X1X2-k^2(X1+X2)+k^2=0在上面的二元一次方程中，X1X2为两根积，X1+X2为两根和带入解得K,就可以求出直线方程