Question

高中导数题

已知函数f(x)=x^3/3+ax^2/2+bx （那是三分之和二分之）在区间[-1,1),(1,3]各有1个极致点。求a^2-4b的最大值。

Answer 1

f(x)=1/3x^3+1/2ax^2+bx 处处可导。
因此，f(x)的极值点必为驻点。

f'(x) = x^2 + ax + b，
f''(x) = 2x + a,

f(x) 在区间[-1,1),(1,3]内各有一个极限值点，说明f'(x)=0在区间[-1,1),(1,3]内各有一个根。

因此，必有，
a^2 - 4b > 0.

且可设 f'(x) = (x-c)(x-d),其中 -1<=c<1<d<=3.
0 < d - c <= 3 -(-1) = 4.

(x-c)(x-d) = x^2 -(c+d)x + cd = x^2 + ax + b,

a = -(c+d), b = cd.

a^2 - 4b = (c+d)^2 - 4cd = (c-d)^2 <= 4^2 = 16.

当c = -1, d = 3时，
a = -(c+d) = -2, b = cd = -3,
f'(x) = (x-c)(x-d) = (x+1)(x-3) = x^2 -2x - 3,
f''(x) = 2x -2 = 2(x-1)
f''(-1) = 2(-1-1) = -4,x = -1为f(x)的极大值点。
f''(3) = 2(3-1) = 4，x = 3为f(x)的极小值点。
满足题目要求，
此时，
a^2 - 4b = 2^2 + 12 = 16达到最大值。

追问

你好厉害，可否留个联系方式？以后多请教。