Question

随机变量函数的分布是什么?

Answer 1

分布函数是概率统计中重要的函数，正是通过它，可用数学分析的方法来研究随机变量。分布函数是随机变量最重要的概率特征，分布函数可以完整地描述随机变量的统计规律，并且决定随机变量的一切其他概率特征。

若已知X的分布函数，就可以知道X落在任一区间上的概率，在这个意义上说，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。随机变量X的分布函数F(x)表示随机变量X的取值小于x时的概率：P(X<x)。大X表示随机变量，小x表示随机变量X所取的具体数值。P表示概率。

随机变量X的分布函数就是一个函数F(x)=P(X≤x)，而随机变量函数的分布指的是，若X是随机变量，则Y=g(X)也是随机变量，Y的分布规律就是随机变量X的函数的分布，这个规律可以用分布函数表示，也可以用概率表或概率密度表示。

随机变量是由随机事件得到的变量，名为变量，实质上是一个函数，是从样本空间到实数上的一个单值函数，X(e):S→R。随机变量的引入大大简化了随机事件的刻画，对进一步研究随机事件的概率也起到了优化的作用。

概率论中重点考察的概率实际上是值域缩小到[0,1]区间的一个函数。自变量为随机事件，因变量为该随机事件发生的可能性的大小。对每一个随机事件（自变量），在对应法则下，能确定其发生的可能性大小——概率（因变量）。

引入随机变量之后，概率就为实数到实数上的一个对应关系，等价于高等数学里定义的函数概念。