Question

导数的概念及其意义是什么？

Answer 1

导数的概念是微积分中的重要基础概念。导数意义是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。

若某函数在某一点可导数存在，则称其在这一点可导否则称为不可导，然而可导的函数一定连续，不连续的函数一定不可导。

导数的性质

若导数大于零，则单调递增，若导数小于零，则单调递减，导数等于零为函数驻点，不一定为极值点。需代入驻点左右两边的数值求导数正负判断单调性，若已知函数为递增函数，则导数大于等于零，若已知函数为递减函数，则导数小于等于零。

根据微积分基本定理，对于可导的函数，如果函数的导函数在某一区间内恒大于零或恒小于零，那么函数在这一区间内单调递增或单调递减，这种区间也称为函数的单调区间。

导函数等于零的点称为函数的驻点，在这类点上函数可能会取得极大值或极小值即极值可疑点，进一步判断则需要知道导函数在附近的符号。

对于满足的一点，如果存在使得在之前区间上都大于等于零，而在之后区间上都小于等于零，那么是一个极大值点，反之则为极小值点。

x变化时函数蓝色曲线的切线变化。函数的导数值就是切线的斜率，绿色代表其值为正，红色代表其值为负，黑色代表值为零。