Question

圆锥的体积公式是什么推导过程？

Answer 1

一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的1/3，根据圆柱体积公式V=Sh(V=rrπh)，得出圆锥体积公式：圆锥V=1/3Sh。

S是圆锥的底面积，h是圆锥的高，r是圆锥的底面半径。

证明：

把圆锥沿高分成k分，每份高h/k。

第n份半径：n*r/k。

第n份底面积：pi*n^2*r^2/k^2。

第n份体积：pi*h*n^2*r^2/k^3。

总体积（1+2+3+4+5+...+n）份：pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3。

因为：1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6。

所以：总体积（1+2+3+4+5+...+n）份：pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3。

=pi*h*r^2*k*(k+1)*(2k+1)/6k^3。

=pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6。

因为当n越来越大，总体积越接近于圆锥体积，1/k越接近于0。

所以pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6=pi*h*r^2/3。

因为V圆柱=pi*h*r^2。

所以V圆锥是与它等底等高的V圆柱体积的1/3。

圆锥的相关组成：

圆锥的高：圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的最短距离叫做圆锥的高。

圆锥母线：圆锥的侧面展开形成的扇形的半径、底面圆周上任意一点到顶点的距离。

圆锥的侧面积：将圆锥的侧面沿母线展开，是一个扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,而扇形的半径等于圆锥的母线的长，圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长×母线/2；没展开时是一个曲面。

圆锥有一个底面、一个侧面、一个顶点、一条高、无数条母线，且底面展开图为一圆形，侧面展开图是扇形。