Question

求函数值域的常用方法

Answer 1

（1）观察法：
如 的值域可以从 入手去求.由 得 ，函数的值域为 ；
（2）图象法：
基本初等函数，或由其经简单变换所得函数，或用导数研究极值点及单调区间时，均通过画示意图、截取、观察得值域，这是值域中的重点内容。
（3）配方法与判别式法
①判别式法：
若函数 可以化为一个系数含有 的二次方程 ，
则在 时，若 则 ，从而确定函数的值域，
并检验 时对应的 的值是否在定义域内，以决定 时 的值的取舍；
②配方法：
形如 的函数，根据二次函数的极值点或边界点的取值确定函数的值域.
（4）函数的单调性法
确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，从而求出函数的值域，列如， .当利用均值不等式时，如果等号不能成立，则可考虑利用函数的单调性解题。
（5）利用函数的有界性：
形如 ， ，因为 ， 可解出 ， 的范围，从而求出其值域或最值.
（6）利用换元法化归为基本函数的值域
①代数换元：形如 ，
可设 ，转化为二次函数求值域.
②三角换元：如 ，可令 ， ， ，
（7）均值不等式法：
利用均值不等式
但要注意以下三点：
①需要同时满足“一正、二定、三相等”的条件
②熟悉常见变形： ；

③若等号取不到，可考虑函数 的单调区间.
（8）分离常数法：
形如 的函数的值域，可使用“分离常数法”求解.
（9）数形结合法
如果所给的函数由较明显的几何意义，可借助几何法求函数的值域，
如由 可联想 与 两点连线的斜率；
（10）导数法：
如求 的值域，则可先使用导数法求其单调区间，然后再求值域.