Question

随机变量X和Y都服从正态分布，则X+Y一定服从正态分布么

Answer 1

两个随机变量X和Y都服从标准正态分布，但它们的和不一定服从正态分布，即X+Y不一定服从正态分布。

因为X和Y不是相互独立的。倘若X和Y相互独立或者X和Y的联合分布为正态分布，则可以推出X+Y服从正态分布。

推算过程（反例）：

标准正太分布曲线图：

扩展资料：

正态分布的一些性质：

（1）如果  且a与b是实数，那么  （参见期望值和方差）。

（2）如果  与  是统计独立的正态随机变量，那么：它们的和也满足正

态分布 它们的差也满足正态分布

U与V两者是相互独立的。（要求X与Y的方差相等）。

（3）如果 和  是独立常态随机变量，那么：它们的积XY服从概率密度函

数为p的分布 其中  是修正贝塞尔函数（modified Bessel function）

它们的比符合柯西分布，满足 

（4）如果 为独立标准常态随机变量，那么  从自由度为n的卡方分布。

参考资料：百度百科——正太分布

Answer 2

两个随机变量X和Y都服从标准正态分布，但它们的和不一定服从正态分布，即X+Y不一定服从正态分布。

因为X和Y不是相互独立的。倘若X和Y相互独立或者X和Y的联合分布为正态分布，则可以推出X+Y服从正态分布。

推算过程（反例）：

标准正太分布曲线图：

扩展资料：

正态分布第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ2 )。服从正态分布的随机变量的概率规律为取 μ邻近的值的概率大 ，而取离μ越远的值的概率越小。

σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点。

它的形状是中间高两边低 ，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。当μ=0，σ2 =1时，称为标准正态分布，记为N（0，1）。μ维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。

Answer 3

不一定，当X与Y独立时，X+Y才一定服从正态分布。

你这个命题成立的条件是（X，Y）是二维正态分布。但是，只有当X和Y都服从正态分布并且相互独立，则X和Y的联合分布才是二维正态分布。

我今天刚好也在纠结这个问题，哈哈~

Answer 4

不一定的，但是如果X和Y独立，X+Y就服从正态分布，其均值是X和Y均值的和，方差的平方是两个方差平方的和。
不独立的话,函数形状在三维空间就不是那种草帽型扩散的函数
相互独立联合密度里新的指数是 -{(x-u1)^2/o^1+(y-u2)^2/o2^2}
(x,y)在圆心为(u1,u2),双轴比例为 o1,o2 的所有椭圆上获得的指数相等
整个函数被椭圆状的等高线组成
-{(x-u1)^2/o^1+(y-u2)^2/o2^2+2(x-u1)(y-u2)/o1o2}这种情况下,椭圆有旋转,还是二维正太,x,y在二维面里定义域仍不受对方约束,也可以理解成把轴给转了一下.新轴u,v是关於x,y的互相垂直的向量,仍然可以不干涉
如果x和y相关
那麼y取值范围受x约束
比如y必须小於某某x
则定义域受到约束,总合还是1,密度相对聚拢,不知道变成什麽形状
当Y=X确定时,会缩成沿著一个面的1维了
顺带一说,如果X,Y独立同分布,等高线都是圆环,出来的函数是一个漂亮的草帽
只要独立同方差就是圆环等高，位置和期望有关，形状和方差有关

Answer 5

不一定的，但是如果X和Y独立，X+Y就服从正态分布，其均值是X和Y均值的和，方差的平方是两个方差平方的和。