Question

如图，抛物线经过 A(4,0),B(1,0),C(0,-2)三点．

1）求抛物线的解析式。
（2）P是抛物线上一动点，过P作PM垂直于x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与三角形OAC相似？
第一问的解析式y=-1/2x^2+5/2x-2
第二问我设p（m，1/2m^2+5/2m-2）然后分别用
①当△OAC∽△MPA时，OA/OC=MP/MA=2/1
即1/2m^2+5/2m-2 ：4-m=2：1 求得m1=4（舍去）m2=5
②当△OAC∽△MAP时，同理求得m3=4（舍去） m4=2

综上所述 求得p1（5，-2） p2（2，1）
【但答案还有个（-3，-14） 思各位数学高手若渴 为me详解 】先谢谢各位了
大家要看清我的问题啊

Answer 1

解答：
1、由两根式可以设二次函数解析式为：y=a﹙x－1﹚﹙x－4﹚，
然后将C点坐标代入解得：a=－½，
∴抛物线解析式为：y=－½﹙x－1﹚﹙x－4﹚=－½﹙x－5／2﹚²＋9／8。
∴对称轴是x=5／2，顶点坐标为D﹙5／2，9／8﹚。
2、直角△AOC的三边分别是：OC=2，OA=4，斜边AC=√20，
设P点坐标为P﹙m，n﹚，∴n=－½﹙m－1﹚﹙m－4﹚﹙*﹚，
下面分三种情况讨论：
⑴当m＜1时﹙即P点在抛物线B点左侧﹚：
∴m＜1，n＜0，∴PM=－n，AM=4－m，
再分两种情形讨论：
①令△OAC∽△MAP；②令△OAC∽△MPA，
由①得：OA／MA=OC／MP，代入得：4／﹙4－m﹚=2／﹙－n﹚，
∴n=½﹙m－4﹚，
代入﹙*﹚式解得：m=2，不合题意，
由②得：OA／MP=OC／MA，代入解得：n=2﹙m－4﹚，
代入﹙*﹚式解得：m=－3，n=－14，
∴当m＜1时，有P﹙－3，－14﹚可以使△OAC∽△MPA。
⑵当1＜m＜4时﹙即P点在X轴上方，AB之间﹚：
∴1＜m＜4，n＞0，∴PM=n，AM=4－m，
再分两种情形讨论：
③令△OAC∽△MAP；④△OAC∽△MPA，
由③得：OA／MA=OC／MP，代入得：n=－½﹙m－4﹚，
代入﹙*﹚式解得：m=2，n=1，
∴这时候的P﹙2，1﹚点存在。
由④得：OA／MP=OC／MA，代入得：n=2﹙4－m﹚，
代入﹙*﹚式解得：m=5，不合题意，
⑶当m＞4时﹙即P点在A点右侧，X轴下方﹚：
∴m＞4，n＜0，∴PM=－n，AM=m－4，
后面方法完全相同，你自己可以完成了。

追问

能按照二楼的思路回答一下我的追问吗？ 那家伙不知道在哪潜水呢......

Answer 2

你在做第①节时错了，并且只考虑到一种情况。
应分M在A的左侧与M在A的右侧两种可能。

正确的做法是：
①
当△OAC∽△MPA时，OA/OC=MP/MA=2/1
（Ⅰ）（1/2m^2 －5/2m+2） ：（4-m）=2：1 求得m1=4（舍去）m2=-3
（Ⅱ）（1/2m^2 －5/2m+2） ：（m－4）=2：1 求得m3=4（舍去）m4=5
②当△OAC∽△MAP时，同理求得m5=4（舍去） m6=2
所以，综上所述，得P1（-3,　-14）、P2（5,　-2）、P3（2,　1）

追问

你算的第②当△OAC∽△MAP时，同理求得m5=4（舍去） m6=2
这一步骤时 ，还要分开算4-m 和m-4 的吗
我算了 m-4时m7=0 ，m8=4 均不符合题意 请问一下你是算到这一步把答案省略了，还是你知道m-4时的情况根本不存在就没算 求解

追答

要分开算4-m 和m-4 的；
我都算过了的，
只是把答案省了。

追问

哦，终于清楚了

Answer 3

这题我没做答案，我给你说下思路吧。
（2）求相似无非是那几种方法，这题明显是用角角相似，因为两个三角形都有一个已知条件，起码都是直角三角形。然后确定P点的位置，因为A为三角形的顶点且垂足为M，所以A与M不重合M点可能在OA上则点P在X轴上方，还有种可能就是M在A点右侧则点P在X轴下方。然后用角等则弦等。可以确定点P的坐标，2个P点坐标求出之后带入第一问所求的方程看是否成立，若成立则存在，反之不存在。
（3）这问求最大面积，明显是动点。三角形DCA，相同的底AC，高在变化，根据面积公式只要求出动点到直线AC距离最长的点所围成的面积为最大。设点D坐标（X，-1/2x^2+5/2x-2）利用点线距离公式D=｜AXo+BYo+C｜/√A^2+B^2,带入D点化简计算点到线的最大值的X值为多少（最后化简是一元二次方程开口向下，算顶点的X值），带入抛物线方程计算该点的坐标即可。

Answer 4

1
A(4,0) B(1,0) C(0,-2)
c=-2
a=-1/2,b=5/2
y=(-1/2)x^2+(5/2)x-2

2
Py/4=(4-Px)/2 Py/4=(Px-4)/2
Py=8-2Px Py=2Px-8
(-1/2)x^2+(5/2)x-2=8-2x (1/2)x^2-(5/2)x+2x+2-8=0
x^2-9x+20=0 x^2-x-12=0
(x-5)(x-4)=0 (x-4)(x+3)=0
x=5 y=-2 x=-3 y=-14

Py/2=(4-Px)/4
Py=2-Px/2
(-1/2)x^2+(5/2)x-2=2-x/2
(1/2)x^2-3x+4=0
x^2-6x+8=0
(x-2)(x-4)=0
x=2,y=1

追问

能按照二楼的思路回答一下我的追问吗？ 那家伙不知道在哪潜水呢......

Answer 5

AM/2=PM/4
|PM|=2|AM|
-(1/2)m^2+(5/2)m-2=2m-8 或 -(1/2)m^2+(5/2)m-2=8-2m
m=-3或m=4 或者 m=4或m=5
m=-3或m=5,
是（-3，1）吧

追问

把x=-3带入解析式y=-14 我算了 没错
如果按照你的这种做法，那岂不是又少了一个答案p（2，1）
还有一个问题 |PM|=2|AM| 为什么后面算的时候PM始终是-(1/2)m^2+(5/2)m-2呢 你怎么知道它始终是正的 ？ 求解

追答

当△OAC∽△MPA时，OA/OC=MP/MA=2/1我只是针对你的第一问少了的情况
我是代入y=-1/2x^2+5/2x-2这里的

追问

能按照二楼的思路回答一下我的追问吗？ 那家伙不知道在哪潜水呢......