Question

已知cos(75°+θ)=1/3 求sin(15°-θ)+sin(105°+θ)的值

RT 请详细解答 谢谢

Answer 1

已知cos(75° + θ)＝1/3 求sin(15°－θ)+sin(105° + θ)的值

方法1：

∵ cos(75° + θ)＝1/3

∴ sin(75° + θ)＝±√(1 – cos²)＝±2√2／3   当θ ∈[–75°，15°]∪[105°，195°] 取正

∵  cos(75°+ θ)＝cos[90°－ (15° － θ)] ＝sin (15° － θ) ＝1/3

∴  sin(15°－θ)＝1/3

又∵ sin(105° + θ)＝sin[30° + (75° + θ)]＝sin30°cos(75° + θ) + cos 30°sin (75° + θ)

＝0.5cos(75° + θ) + (√3 /2) sin (75° + θ)＝(1/2)(1/3) + (√3 /2)(±2√2／3)＝1/6±√6／3

∴  sin(15°－θ) + sin(105° + θ) ＝1/3 + 1/6±√6／3＝1/2±√6／3

 …….应该限定θ的范围

方法2： 

∵  sinα + sinβ ＝2 sin[(α+β)/2] cos[(α－β)/2]

∴  sin(15°－θ) + sin(105° + θ) ＝2 sin60°cos(45°+θ) ＝2(√3 /2) cos(45°+θ) ＝√3 cos(45°+θ) 

 

∵ cos(75° + θ)＝1/3

∴ sin(75° + θ)＝±√(1 – cos²)＝±2√2／3   当θ ∈[–75°，15°]∪[105°，195°] 取正

∵  cos(α－β) ＝cosαcosβ + sinαsinβ

∴  cos(45°+θ)＝cos[(75° + θ) －30°]＝cos(75° + θ)cos30°－sin(75° + θ)sin30°＝(1/3)(√3/2)  －(±2√2／3)(1/2) ＝√3/6 ±√2/3

∴  sin(15°－θ) + sin(105° + θ) ＝√3 cos(45°+θ) ＝1/2 ±√6/3

 

Answer 2

由：cos(75°+θ)=1/3；可得：sin(15°-θ)=1/3；sin(75°+θ)=2√2/3
sin(105°+θ)=sin(30°+75°+θ)=sin30°cos(75°+θ)+cos30°sin(75°+θ)
=1/2*1/3+√3/2*2√2/3
=1/6+2√6/6
=(1+2√6)/6
所以：sin(15°-θ)+sin(105°+θ)=1/3+(1+2√6)/6=(3+2√6)/6
=1/2+√6/3

Answer 3

题目有问题

追问

这是原题

追答

sin(105°+Θ)=sin(90°+15°+Θ)=cos(15°+Θ)=sin(75°-Θ)
题目给的是cos(75°+Θ),没有给sin(15°+Θ)或者cos(75°-Θ),所以求不了.