Question

高数多元函数微分16题无界怎么证

Answer 1

可以求出，f 'x(0，0)=0，
在(x，y)≠(0，0)时，
f 'x(x，y)=2x*cos（1/(xx+yy)）+【2x*sin（1/(xx+yy)）】/(xx+yy)★
因为★中的第一项是有界量乘以无穷小量，结果仍为无穷小量，
所以，关注第二项。
方法，取y=0，且在x轴的正半轴上考虑。
此时第二项为2【sin(1/xx)】/x★★
以下证明：★★可以无限大，则无界。
这是因为，在原点的任意邻域内，一定存在x正半轴上这样的点：
它使得sin(1/xx)=1，于是★★可以任意地大。

对y的偏导数同理。