Question

函数的概念,什么是函数

Answer 1

函数的定义
函数的传统定义：
设在某变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就称y是x的函数,x叫做自变量.
我们将自变量x取值的集合叫做函数的定义域,和自变量x对应的y的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域.
函数的近代定义：
设A,B都是非空的数的集合,f：x→y是从A到B的一个对应法则,那么从A到B的映射f：A→B就叫做函数,记作y=f(x),其中x∈A,y∈B,原象集合A叫做函数f(x)的定义域,象集合C叫做函数f(x)的值域,显然有CB.
符号y=f(x)即是“y是x的函数”的数学表示,应理解为：
x是自变量,它是法则所施加的对象；f是对应法则,它可以是一个或几个解析式,可以是图象、表格,也可以是文字描述；y是自变量的函数,当x为允许的某一具体值时,相应的y值为与该自变量值对应的函数值,当f用解析式表示时,则解析式为函数解析式.y=f(x)仅仅是函数符号,不是表示“y等于f与x的乘积”,f(x)也不一定是解析式,在研究函数时,除用符号f(x)外,还常用g(x),F(x),G(x)等符号来表示.
对函数概念的理解
函数的两个定义本质是一致的,只是叙述概念的出发点不同,传统定义是从运动变化的观点出发,而近代定义是从集合、映射的观点出发.这样,就不难得知函数实质是从非空数集A到非空数集B的一个特殊的映射.
由函数的近代定义可知,函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f.其中核心是对应法则f,它是函数关系的本质特征.y＝f（x）的意义是：y等于x在法则f下的对应值,而f是“对应”得以实现的方法和途径,是联系x与y的纽带,所以是函数的核心.至于用什么字母表示自变量、因变量和对应法则,这是无关紧要的.
函数的定义域（即原象集合）是自变量x的取值范围,它是构成函数的一个不可缺少的组成部分.当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则完全确定之后,函数的值域也就随之确定了.因此,定义域和对应法则为“y是x的函数”的两个基本条件,缺一不可.只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一个函数,这就是说：
1）定义域不同,两个函数也就不同；
2）对应法则不同,两个函数也是不同的；
3）即使是定义域和值域都分别相同的两个函数,它们也不一定是同一函数,因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则.
例如：函数y＝x＋1与y＝2x＋1,其定义域都是x∈R,值域都为y∈R.也就是说,这两个函数的定义域和值域相同,但它们的对应法则是不同的,因此不能说这两个函数是同一个函数.
定义域A,值域C以及从A到C的对应法则f,称为函数的三要素.由于值域可由定义域和对应法则唯一确定.两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时,才是同一函数.
例如：在①y＝x与 ,② 与 ,③y＝x＋1与 ,④y＝x0与y＝1,⑤y＝｜x｜与 这五组函数中,只有⑤表示同一函数.
f（x）与f（a）的区别与联系
f（a）表示当x＝a时函数f（x）的值,是一个常量.而f（x）是自变量x的函数,在一般情况下,它是一个变量,f（a）是f（x）的一个特殊值.如一次函数f（x）＝3x＋4,当x＝8时,f（8）＝3×8＋4＝28是一常数.
当法则所施加的对象与解析式中表述的对象不一致时,该解析式不能正确施加法则.
比如f（x）＝x2＋1,左端是对x施加法则,右端也是关于x的解析式,这时此式是以x为自变量的函数的解析式；而对于f（x＋1）＝3x2＋2x＋1,左端表示对x＋1施加法则,右端是关于x的解析式,二者并不统一,这时此式既不是关于x的函数解析式,也不是关于x＋1的函数解析式.