Question

级数求和问题。

Answer 1

1^4+2^4+3^4+4^4+.......+n^4=n(n+1)(2n+1)(3n²+3n-1)/30

追问

怎么算出来的？

追答

2^5=1^5+5*1^4+10*1^3+10*1^2+5*1+1
3^5=2^5+5*2^4+10*2^3+10*2^2+5*2+1
......
(n-1)^5=(n-2)^5+5*(n-2)^4+10*(n-2)^3+10*(n-2)^2+5*(n-2)+1
n^5=(n-1)^5+5*(n-1)^4+10*(n-1)^3+10*(n-1)^2+5*(n-1)+1
(n+1)^5=n^5+5*n^4+10*n^3+10*n^2+5*n+1
等式两边分别相加。注意到等号左边除最后一行外，都与下一行等号右边的第一项相抵消，所以等号左边只剩下最后一行；而等号右边的第一项也只剩下第一行的1^5。合并后就得到：(n+1)^5=1^5+
5[1^4+2^4+......+(n-2)^4+(n-1)^4+n^4]+
10[1^3+2^3+......+(n-2)^3+(n-1)^3+n^3]+
10[1^2+2^2+......+(n-2)^2+(n-1)^2+n^2]+
5[1+2+......+(n-2)+(n-1)+n]+
[1+1+......+1+1+1]
令1^4+2^4+......+(n-2)^4+(n-1)^4+n^4=S4
我们知道：1^3+2^3+......+(n-2)^3+(n-1)^3+n^3=n²(n+1)²/4
1^2+2^2+......+(n-2)^2+(n-1)^2+n^2=n(n+1)(2n+1)/3
1+2+......+(n-2)+(n-1)+n=n(n+1)/2
1+1+......+1+1+1=n
代入后得到：
(n+1)^5=1+5S4+10[n²(n+1)²/4]+10[n(n+1)(2n+1)/3]+5[n(n+1)/2]+n
于是5S4=1+10[n²(n+1)²/4]+10[n(n+1)(2n+1)/3]+5[n(n+1)/2]+n-(n+1)^5
整理后就可以得到上面的结果。

Answer 2

1^4+2^4+3^4+4^4+.......+n^4= 无限大

追问

胡闹