Question

谁能帮我举一个定积分存在而原函数不存在的例子

Answer 1

原函数存在的条件是:连续/无第一间断点/无无穷间断点.
而可积的条件是:连续/单调/有界且间断点个数有限
那麼这样就好找了,只要找一个有界并且有一个第一间断点的函数,不就是可积但不存在原函数了吗?
f(x)=1,x≥0.=-1,x<0这个分段函数,在[-1,1]上明显有界,且x=0是第一间断点,那麼就是可积但没有原函数的例子.

追问

奥，就是好多分段函数就是这样是吧，比如说大于零是sinx，小于零是cosx的分段函数

追答

嗯

Answer 2

简单分析一下即可，详情如图所示

Answer 3

数学分析中应该有介绍Riemann函数吧，这就是个很好的例子，而且根据Darboux定理，导函数要具有介值性且不能有第一类间断点，函数Riemann可积条件是间断点为零测集，结合这两个就能得到很多Riemann可积但没有原函数的函数了。

Answer 4

追问

他的原函数为什么不存在啊？

追答

这是被证明过不可积的