Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+4,集合A={x|f(x)=x}

若1属于A，且a大于等于1小于等于2，设f(x)在区间[1/2,2]上的最大值、最小值分别为M,m，记g(a)=M-m,求g(a)的最小值。

Answer 1

1属于A,f(1)=1, 得a+b+4=1, 即a+b=-3
1=<a<=2,
-b/2a=3/2a+1/2
对称轴x=-b/(2a)=h
1/2=<h<=2
因此在[1/2,2],有极小值点为最小值m=f(-b/2a)=4-b^2/4a=4-(3+a)^2/4a
f(1/2)=a/4+b/2+4=a/4+(-3-a)/2+4=-a/4+5/2
f(2)=4a+2b+4=4a+2(-3-a)+4=2a-2
因为a<=2,有 2a-2<=-a/4+5/2
故M=f(1/2)=-a/4+5/2
g(a)=M-m=-a/4+5/2-4+(3+a)^2/4a=1/4[ -a-6+a+6+9/a]=9/(4a)
当a=2, gmin(a)=9/8

追问

3/2=<h<=2
2a-2<-a/4+5/2( 1=<a<=2, 两者不可能相等）