Question

求d[∫arcsin√xdx]=().

Answer 1

1、试作下列函数的图象：
(1)y=x^2+1；(2)y=(x+1)^2；(3)y=1-(x+1)^2；(4)y=sgn(sinx)；
解：如图：
2、试比较函数y=a^x与y=logax分别当a=2和a=1/2时的图像。
解：如图，当a=2时，y=a^x单调递增；当a=1/2时，y=a^x单调递减。
当x>0时，(1/2)^x<2^x；
当x=0时，(1/2)^x=2^x=1，即函数图象都过点(0,1)；
当x<0时，(1/2)^x>2^x.
对任意x∈R，函数值都大于0，∴它们的图像都在x轴的上方，宏枯猛关于y轴对称。
y=logax是y=a^x的反函数，它们的图象关于直线y=x对称，增减性相同。
当0<x<1时，log1/2 x>log2 x；蔽桥
当x=1时，log1/2 x=log2 x=0，即函数图象都过点(1,0)；
当x>1时，log1/2 x<log2 x.
由于x≤0时，函数无败闹定义，∴它们的图象在y轴的右方，关于x轴对称.
3、如图，写出定义在[0,1]上的分段函数f1(x)和f2(x)的解析式。
解：如图，当0≤x≤1/2时，f1(x)=4x；当1/2<x≤1时，f1(x)= -4x+4.
当0≤x≤1/4时，f2(x)=16x；当1/4<x≤1/2时，f2(x)= -16x+8；当1/2<x≤1时，f2(x)=0.
4、确定下列初等函数的存在域：
(1)y=sin(sinx)；(2)y=lg(lgx)；(3)y=arcsin(lg(x/10))；(4)y=lg(arcsin(x/10))
解：(1)∵sinx 的存在域为x∈R，∴y=sin(sinx)的存在域为x∈R.
(2)∵lgx的存在域为x∈(0, +∞)，∴lgx>0，∴x>1. ∴y=lg(lgx)的存在域为x∈(1, +∞).
(3)∵arcsinx的存在域为x∈[-1, +1]，∴-1≤lg(x/10)≤1，即1/10≤x/10≤10，∴1≤x≤100; ∴y=arcsin(lg(x/10))的存在域为x∈[1,100].
(4) ∵lgx的存在域为x∈(0, +∞)，∴arcsin(x/10)>0，∴0<x/10≤1，即0<x≤10；
∴y=lg(arcsin(x/10))的存在域为x∈(0,10].
5、设函数
求:(1)f(-3),f(0),f(1)；(2)f(△x)-f(0),f(-△x)-f(0) (△x>0)
解：(1) f(-3)=2+(-3)= -1; f(0)=2+0=2; f(1)=2^1=2.
(2)∵△x>0, ∴f(△x)-f(0)=2^△x-2; f(-△x)-f(0)=2+(-△x)-2=-△x.
6、设函数f(x)=1/(1+x)
求：f(2+x),f(2x),f(x^2),f(f(x)),f(1/f(x)).
解：f(2+x)=1/(1+2+x)=1/(3x+x)；f(2x)=1/(1+2x)；f(x2)=1/(1+x^2)；f(f(x))=1/[1+1/(1+x)]=(1+x)/(2+x)；f(1/f(x))=1/(1+1+x)=1/(2+x).
7、试问下列函数是由哪些基本初等函数复合而成：
(1)y=(1+x)^20; (2)y=(arcsinx^2)^2; (3)y=lg(1+根号(1+x^2)); (4)y=2^[(sinx)^2]
解：(1)y=u^20, u=v1+v2, v1=1, v2=x；(2)y=u^2, u=arcsinv, v=x^2；
(3)y=lgu, u=(u1+u2), u1=1, u2=根号v, v=u1+w, w=x^2；(4)y=2^u, u=v^2, v=sinx.
8、在什么条件下，函数y=(ax+b)/(cx+d)的反函数就是它本身？
解：y=(ax+b)/(cx+d)的反函数为：y=(b-dx)/(cx-a).
当a+d=0时，(ax+b)/(cx+d)=(b-dx)/(cx-a).
∴当a和d互为相反数时，函数y=(ax+b)/(cx+d)的反函数就是它本身.
9、试作函数y=arcsin(sinx)的图象.
解：如图，其周期为2π，值域为[-π/2,π/2]
10、试问下列等式是否成立：
(1)tan(arctanx)=x, x∈R；
(2)arctan(tanx)=x, x≠k+π/2，k=0,±1,…
解：(1)∵arctanx的值域为[-π/2,π/2]，∴(1)式成立.
(2)∵tanx在[-π/2,π/2]外有定义域，而arctan(tanx)的值域为[-π/2,π/2]，∴(2)式不成立.
11、试问y=|x|是初等函数吗？
解：y=|x|=根号(x^2)=根号u; u=x^2; 可见y=|x|是由基本初等函数有限次复合而成的函数，
∴y=|x|是初等函数.
12、证明关于函数y=[x]的如下不等式：
(1)当x>0时，1-x<x[1/x]≤1；(2)当x<0时，1≤x[1/x]<1-x.
证：1<[1/x]≤1/x，即(1-x)/x<[1/x]≤1/x；
(1)当x>0时，1-x<x[1/x]≤1. (2)当x<0时，1≤x[1/x]<1-x.

Answer 2

y=x^2+1；(2)y=(x+1)^2；(3)y=1-(x+1)^2；(4)y=sgn(sinx)；