Question

一道二次函数的数学题

Answer 1

1、由题意可知x1=-1,x2=3 是ax^2+bx+c=0的两个根。
且x=(x1+x2)/2=1时，函数有最小值。即点(1,-4)是函数图像上的一点。

根据韦达定理：
x1+x2=-b/a=2
x1*x2=c/a=-3
所以
b=-2a
c=-3a
二次函数可写成：
y=ax^2-2ax-3a

将(1,-4)代入可算出
a=1
所以b=-2,c=-3

函数解析式是：
y=x^2-2x-3

2.---------------------------
三角形MBC面积
=四边形OBMC面积-三角形OBC面积
=三角形OMC面积+三角形OMB面积-三角形OBC面积

设M点坐标为(x,y), (x>0,y<0)
C点坐标是(0,-3)
OMC面积=3x/2
OMB面积=-3y/2
OBC面积=3*3/2=4.5

所以三角形MBC面积是：
3x/2-3y/2-4.5
=3/2*(x-y-3)
=3/2*(x-x^2+2x+3-3)
=3/2*(3x-x^2)
=3/2*[9/4-(x-3/2)^2]
当x=3/2时，MBC面积有最大值：3/2*9/4=27/8

3.------------------------
设P点坐标为(t,t^2-2t-3),由于二次函数图像是对称图形且对称轴是x=1，
所以Q点坐标是(2-t,t^2-2t-3)
PEFQ是正方形，说明PQ长度=PE长度
PQ=2-t-t=2-2t
PE=(t^2-2t-3)的绝对值

当t<-1时，t^2-2t-3>0
所以有：
t^2-2t-3=2-2t
t^2=5
t1=Sqrt(5),(舍去）
t2=-Sqrt(5)
将t2代入函数式，此时P点纵坐标是：2+2Sqrt5

当-1<t<3时，t^2-2t-3<0,
所以有：
-t^2+2t+3=2-2t
t^2-4t-1=0
t1=4-Sqrt(20)
t2=4+Sqrt(20)>3,舍去
将t1代入函数式，P点纵坐标是：25-12Sqrt5

所以P点坐标是：
(-Sqrt5,2+2Sqrt5)
(4-2Sqrt5,25-12Sqrt5)

注：Sqrt表示开平方根。

Answer 2

解：(1)∵A(-1，0)，B(3，0)
∴AB=4
又∵此函数最小值为-4
∴函数的顶点坐标为(1，-4)
∴设y=a(x-h)²+k
将顶点坐标(1，-4)代入，
∴y=a(x-1)²-4
将(-1，0)代入，
∴a(-1-1)²-4=0
4a-4=0
a=1
∴y=(x-1)²-4=x²-2x-3
∴二次函数的解析式为y=x²-2x-3

Answer 3

解①：将（-1，0）（3，0）带入方程y=ax^2+bx+c得a-b+c=0①，9a+3b+c=0②，由顶点公式得4ac-b^2+16a=0③。由①②③组成方程组，解得a=1，b=-2，c=-3。所以原方程为y=x^2-2x-3

Answer 4

A横坐标是-1，B的是3，那么对称轴横坐标为1，根据提议知道定点坐标为（1，-4）
设函数解析式为y=a(x-h)平方+b
有定点坐标（1，-4），和A（-1，0）就可以求出解析式