Question

已知f(x)=lnx-x^2+bx+3在区间[1,m]上单调,求b的取值范围

Answer 1

易知 x>0
f'(x)=1/x -2x +b=(-2x²+bx+1)/x，若f(x)在[1，m]单调，则f'(x)在[1，m]上取值同号。
（1）若f(x)在[1，m]单调增，则 f'(x)≥0，x∈[1，m]
即 -2x²+bx+1≥0，x∈[1，m]
b≥(2x²-1)/x，x∈[1，m]
从而 b≥[(2x²-1)/x]max，x∈[1，m]
令g(x)=(2x²-1)/x=2x -1/x，则g(x)在[1，m]上增，最大值为g(m)=2m-1/m
所以 b≥2m- 1/m
（2）若f(x)在[1，m]单调减，则 f'(x)≤0，x∈[1，m]
即 -2x²+bx+1≤0，x∈[1，m]
b≤(2x²-1)/x，x∈[1，m]
从而 b≤[(2x²-1)/x]min，x∈[1，m]
g(x)=(2x²-1)/x=2x -1/x，在[1，m]的最大值为g(1)=1
所以 b≤1
由（1）（2），b的取值范围是b≤1或 b≥2m- 1/m (m>1)

Answer 2

f'(x)=1/x-2x+b，当1<=x<=m时，f'(x)=1/x-2x+b>=0，b>=2x-1/x。
设g(x)=2x-1/x，g'(x)=2+1/x^2>0，g(x)单调递增，g(x)在区间[1,m]上的最大值为g(m)=2m-1/m。
所以，b的取值范围是[2m-1/m,+无穷)。