Question

已知三角形ABC,点D在边AC上,AD:DC=2:1,BD垂直AB,tan角DBC=三分之一,则sin角BAC为

答案为二分之根号2

Answer 1

解：过D做AB的平行线交BC于E，则因为BD⊥AB，所以BD⊥BC，在Rt△BED中，因为tan角DBC=1/3，即DE/BD=1/3，设DE=k,则BD=3K,所以BE=^10k.因为DE∥AB，AD/DC=2/1，所以BE/EC=2/1，故CE=根10/2k,,在△DBC中tan∠DBC=1/3，即sin∠DBC/cos∠DBC=1/3，解得 cos∠DBC=3倍根10/10，由余弦定理解得DC=3k倍根2/2,所以AD=3k倍根2. 。所以sin∠BAC =BD/AD=根2/2.。

Answer 2

过点C作CM⊥BD的反向延长线于点M，连接DM。因AD:DC=2:1，不妨设AD=2，DC=1，并设CM=x，则BC=3x，依相似性质知AB=2x。于是△ABC中，有AC=2+1=3,AB=2x,BC=3x,<ABC=π/2+arctan(1/3)，根据余弦定理有
AC^2=AB^2+BC^2-2AB*BC*cos<ABC
于是有
3^2=(2x)^2+(3x)^2-2*2x*3x*cos[π/2+arctan(1/3)]
也即9=13x^2-12x^2*{-sin[arctan(1/3)]}=13x^2+12x^2*1/√(1^2+3^2)=(13+6√10/5)x^2
得x^2=9/(13+6√10/5)
RT△ABD中，有cos<BAD=cos<BAC=2x/2=x，于是
sin<BAC=√(1-x^2)=√[1-9/(13+6√10/5)]=√[(188+54√10)/773]
这题设计的也太变态了吧。