Question

如图，BC为圆O的直径，AD垂直于BC于D，P是弧AC上一动点，连接PB分别交AD，AC于点E，F

（1）当弧AB=弧PA时，求证：AE=EB
（2）当点P在什么位置时，AF＝EF？证明你的结论。

Answer 1

证明：(1)连AB,AP,PC.

因为弧AB=弧AP  ∴∠ACB=∠ABP(等弧所对圆周角相等)

又因为BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°

AD⊥BC于D，∴∠BAD=∠ACB(同为∠ABC的余角)

∴∠ABP=∠BAD  ∴AE=EB

(2)当P点使弧PC=弧AB时，AF=EF.

证明：当P点使弧PC=弧AB时，ABCP是等腰梯形，

∴∠ABC=∠PCB

∠ABC=∠CAD(同为∠ACD的余角)

∠AEF=∠BED

∠BED=∠PCB(同为∠PBC的余角)

∴∠CAD=∠AEF

∴AF=EF