Question

证明：对于任意自然数n来说，总能使（n+1）的2005次方＋n的2005次方＋（n－1）的2005次方－3n被10整除。

Answer 1

n的4k+1次方-n一定是10的倍数，原式=[(n+1)^2005-(n-1)]-(n^2005-n)+[(n-1)^2005-(n-1)],每个括号里的数都能被10整除，所以全式也能被10整除~

若n为奇数, 则n+1与n-1均为偶数, (n+1)^2005+n^2005+(n-1)^2005-3n为偶数.
若n为偶数, 则n+1与n-1均为奇数, (n+1)^2005+n^2005+(n-1)^2005-3n也为偶数.
于是(n+1)^2005+n^2005+(n-1)^2005-3n总被2整除.

下面证明, 对任意自然数m, m^2005-m总被5整除.
m^2005-m = m(m^2004-1) = m(m^1002-1)(m^1002+1) = m(m^501-1)(m^501+1)(m^1002+1).
若m被5整除, 结论成立. 若m不被5整除, 则m^501也不被5整除, 其除以5的余数可能为1, 2, 3, 4.
若m^501除以5的余数为1, 则m^501-1被5整除, 结论成立.
若m^501除以5的余数为4, 则m^501+1被5整除, 结论成立.
若m^501除以5的余数为2或3, 则m^1002除以5的余数为4, m^1002+1被5整除, 结论成立.

依次取m = n+1, n, n-1得(n+1)^2005-(n+1), n^2005-n, (n-1)^2005-(n-1)都被5整除.
于是它们的和(n+1)^2005+n^2005+(n-1)^2005-3n总被5整除.
综合得(n+1)^2005+n^2005+(n-1)^2005-3n总被10整除.

如果知道Fermat小定理, 并熟悉同余的性质, 证明可以更简单.

Answer 2

用数学归纳法，满简单的

Answer 3

用二项式公式 试试

Answer 4

刚才试了试，发现自己把那些公式给忘记了！！！郁闷！

Answer 5

我也在做这道题。