Question

求极限lim{[(sinx)/x]+xsin(1/2x)} x趋向无穷大,

Answer 1

求lim{[(sinx)/x]+xsin(1/2x)}(x→∞)
用极限的可加性拆成lim (sin x/x)和lim[xsinx(1/2x)]
sin x/x,因为x→∞,所以1/x 趋向0,sinx在1和-1之间振荡,两者相乘极限是0 ,故lim (sin x/x)=0.
从而：lim[sinx/x+xsinx(1/2x)](x→0)
=lim (xsin x/x)+limxsinx(1/2x)
=0+lim(sinx/x)
=limxsinx(1/2x)
又当x→∞时,1/2x～0,sin(1/2x)～1/2x
故limxsin(1/2x)=limx*1/2x=1/2
lim[xsinx+xsinx(1/2x)](x→∞)=1/2.
PSSS:当x→∞,1/2x～0,sin(1/2x)～1/2x这个没疑问吧?!高数书中当已知条件给出的.
如下：
当x→0时,
sinx～tanx～arcsinx～arctanx；
1-cosx～x^2/2；
ln(1+x)～e^x-1；
a^x-1～xlna(a＞0,a≠1)；
(1+a)^a-1～ax(a≠0是常数)；
当x→1时,lnx～x-1.