Question

已知实数ab满足2b＾2-a＾2=4，则|a-2b|的最小值

Answer 1

因(a-2b)^2=a^2-4ab+4b^2=(2a^2-4ab+2b^2)+(2b^2-a^2)=2(a-b)^2+4>=4所以|a-2b|>=2 即所求最小值为2

Answer 2

当a＝2b时，由条件，得：2b^2－4b^2＝－2b^2＝4，∴b^2＝－2。显然不合理，应舍去。
二、当a＞2b时，｜a－2b｜＝a－2b＝k，∴a＝k＋2b。
∴2b^2－（k＋2b）^2＝4，∴2b^2－k^2－4kb－4b^2＝4，∴2b^2＋4kb＋k^2＋4＝0。
∵b是实数，∴（4k）^2－4×2（k^2＋4）≧0，∴4k^2－2k^2－8≧0，∴k^2≧4，
∴k≧2，∴此时k的最小值是2。
三、当a＜2b时，｜a－2b｜＝2b－a－k，∴a＝2b－k。
∴2b^2－（2b－k）^2＝4，∴2b^2－4b^2＋4kb－k^2＝4，∴2b^2－4kb＋k^2＋4＝0。
∵b是实数，∴（－4k）^2－4×2（k^2＋2）≧0，∴4k^2－2k^2－8≧0，∴k^2≧4，
∴k≧2，∴此时k的最小值是2。
综上一、二、三所述，得：满足条件的｜a－2b｜的最小值为2。