Question

反函数导数与原函数导数关系

Answer 1

反函数导数与原函数导数关系：互为倒数。设原函数为y=f(x)，则其反函数在y点的导数与f'(x)互为倒数（即原函数，前提要f'(x)存在，且不为0）。

原 函数的导数和反函数的导数成倒数关系

首先，在这里反函数必须明白是什么样的反函数。

我们一般设一个原来的函数y=f（x）

那么反函数就设为y=f^-1（x），这两个图像关于y=x这条直线对称。

但是这样的原来函数和反函数之间的导数，谈不上什么关系。

那么要是什么样的反函数呢？

必须是写成x=f^-1（y）形式的反函数，其导数才是和原来函数的导数成倒数关系。

我们知道，在同一个x-y坐标系内，原函数y=f（x）和反函数x=f^-1（y）是同一个图像，那么对于函数上同一个点（x0，y0）点处的切线，当然就是同一条切线。

在原函数y=f（x）中，我们求的导数，从几何意义上说，就是x轴正半轴转到切线的角度的正切

而反函数x=f^-1（y）中，我们求的导数，从几何意义上说，就是y轴正半轴转到切线的角度的正切。

而这两个函数在同一个x-y坐标系内是同一条曲线，在同一个点（x0，y0）处是同一条切线。这同一条切线的“x轴正半轴转到切线的角度”和“y轴正半轴转到切线的角度”相加，当然就是90°，那么这两个角的正切当然就互为倒数。

所以才会有“原函数的导数和反函数的导数成倒数关系”的性质。

导数口诀

常为零，幂降次

对倒数（e为底时直接倒数，a为底时乘以1/lna）

指不变（特别的，自然对数的指数函数完全不变，一般的指数函数须乘以lna）

正变余，余变正

切割方（切函数是相应割函数（切函数的倒数）的平方）

割乘切，反分式