Question

如图,AB为⊙O的直径,直线CD切⊙O于点D,AC⊥CD于点C,交⊙O于点E,连接AD。 （1）求证：AD平分角BAC；

（2）若CD等于根号五，AE等于4，求圆O的半径

Answer 1

（1）证明：∵AC⊥CD，OD⊥CD
∴AC//OD
从而∠CAD=∠ADO(两直线平行，内错角相等) ①
又 OA,OD是⊙O的半径
∴∠OAD=∠ADO ②
由①②得 ∠CAD=∠OAD
∴AD平分角BAC
（2）解：直线CD切⊙O于点D,由切割线定理，得
CD^2=CE*CA
则 5=CE*(CE+AE)
5=CE*(CE+4)
解之得 CE=1
从而 AC=AE+CE=4+1=5
设圆O的半径为r
过O作OF⊥AC交于F点
在直角三角形AOF中，由勾股定理，得
OA^2=OF^2+AF^2
又 OF=CD,CF=OD=r
则 r^2=5+(AC-r)^2
r^2=5+(5-r)^2
5+25-10*r=0
∴r=3
圆O的半径为3.

Answer 2

连接BD，
(1)、∵CD是切线，AD是弦，∴∠ADC=∠ABD，
在△ACD中，∵AC⊥CD，∴∠DAC=90°-∠ADC；
在△ADB中，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∠DAB=90°-∠ABD，
∴∠DAC=∠DAB，即AD平分∠BAC。
(2)、设CE=x，则AC=AE+CE=4+x，又CD=√5，
据切线割线定理CE*AC,=CD²，有x(4+x)=5，
解得正根x=1，而AC=4+1=5，
在rt△ACD中，AD²=AC²+CD²=5²+5=30。
此外，在rt△ACD和rt△ADB中，∵∠DAC=∠DAB，
rt△ACD∽rt△ADB，AB/AD=AD/AC，或AB=AD²/AC。
∴AB=30/5=6，那么⊙O的半径AO=3。