因式分解的方法与技巧
导语：因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，在数学求根作图、解一元二次方程方面也有很广泛的应用。是解决许多数学问题的有力工具。把一个多项式在一个范围(如有理数范围内分解，即所有项均为有理数)化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。
因式分解的方法与技巧
1、 提公因法
如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、 分解因式x3 -2x 2-x
x3 -2x2 -x=x(x2 -2x-1)
2、 应用公式法
由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2、分解因式a2 +4ab+4b2
解：a2 +4ab+4b2 =(a+2b)2
3、 分组分解法
要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)
例3、分解因式m2 +5n-mn-5m
解：m2 +5n-mn-5m= m 2-5m -mn+5n
= (m2 -5m )+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4、 十字相乘法
对于mx2 +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)
例4、分解因式7x2 -19x-6
分析： 1 ×7=7, 2×(-3)=-6
1×2+7×(-3)=-19
解：7x2 -19x-6=(7x+2)(x-3)
5、配方法
对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
例5、分解因式x2 +6x-40
解x2 +6x-40=x2 +6x+( 9) -(9 ) -40
=(x+ 3)2 -(7 ) 2
=[(x+3)+7]*[(x+3) – 7]
=(x+10)(x-4)
6、拆、添项法
可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)
7、 换元法
有时在分解因式时，可以选择多项式中的.相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。
例7、分解因式2x4 –x3 -6x2 -x+2(也叫相反式，在这里以二次项系数为中心对称项的系数是相等的，如四次项与常数项对称，系数相等，解法也是把对称项结合在一起)
解：2x 4–x3 -6x2 -x+2=2(x4 +1)-x(x2 +1)-6x2
=x2 {2[x2 + ()2]-(x+ )-6}
令y=x+ ,
x2 {2[x2 +( )2]-(x+)-6}
= x2 [2(y2 -2)-y-6]
= x2 (2y2 -y-10)
=x 2(y+2)(2y-5)
=x2 (x+ +2)(2x+ -5)
= (x2 +2x+1) (2x2 -5x+2)
=(x+1)2 (2x-1)(x-2)
8、 求根法
令多项式f(x)=0,求出其根为x1,x2 ,x3 ,……xn ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x1 )(x-x 2)(x-x3 )……(x-xn ) (一般情况下是试根法，并且一般试-3,-2,-1,0,1,2,3这些数是不是方程的根)
例8、分解因式2x4 +7x3 -2x2 -13x+6
解：令f(x)=2x4 +7x3 -2x2 -13x+6=0
通过综合除法可知，f(x)=0根为 ，-3，-2，1 ,
则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
9、 图象法(这种方法在以后学函数的时候会用到。现在只是作为了解内容，它和第八种方法是类似的)
令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x1 ,x2 ,x3 ,……xn ，则多项式可因式分解为
f(x)= f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3)……(x-xn )
例9、因式分解x3 +2x2 -5x-6
解：令y= x3 +2x2 -5x-6
作出其图象，可知与x轴交点为-3，-1，2
则x3 +2x 2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
10、 主元法
先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。
例10、分解因式a2 (b-c)+b2 (c-a)+c2 (a-b)
分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列
解：a2 (b-c)+b2 (c-a)+c2 (a-b)=a2 (b-c)-a(b2 -c 2)+bc(b-c)
=(b-c) [a2 -a(b+c)+bc]
=(b-c)(a-b)(a-c)
11、 利用特殊值法
将2或10(或其它数)代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。例11、分解因式x 3+9x2 +23x+15
解：令x=2，则x3 +9x 2+23x+15=8+36+46+15=105
将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7
注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值
则x3 +9x2 +23x+15=(x+1)(x+3)(x+5)
12、待定系数法
首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。
例12、分解因式x4 –x3 -5x2 -6x-4
如果已知道这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。
解：设x4 –x3 -5x2 -6x-4=(x2 +ax+b)(x2 +cx+d)
= x4 +(a+c)x3 +(ac+b+d)x2 +(ad+bc)x+bd
从而a+c=-1,ac+b+d=-5,ad+bc=-6,bd=-4
所以 解得
则x4 –x3 -5x2 -6x-4 =(x 2+x+1)(x2 -2x-4)。
因式分解应该注意哪些问题?
一、要注意到“1”的存在而避免漏项
在提取公因式时,多数同学易忘记观察被分解多项式的项数是多少,更没有理解因式分解与乘法运算之间的关系,而在分解因式时应注意到“1”在这个多项式分解中的存在和作用。
例1分解因式23x+5xy+x=x(3x+5y)
错解: 23x+5xy+x=x(3x+5y),这样就漏了“x”这一项,提出“x”后应由“1”来补其位。 正解: 23x+5xy+x=x(3x+5y+1)
二、提取公因式时要注意符号的变化
牢记在有理数的乘法运算中“括号前是负号,去括号时括号里的各项都要变号”这一运算律,而因式分解与乘法运算之间互为逆变形,首相为负号应提取负号,但加括号并且括号里的各项都要变号。
例2分解因式2-10x+10xy.
错解: 2-10x+10xy=-10x(x+y),错在括号里没有变号。
正解: 2-10x+10xy=-10x(x-y).
三、要注意整体与个体之间的关系
在公式22a-b=(a+b)(a-b) ，222a+2ab+b=(a+b), 222a-2ab+b=(a-b)中,a、b代表符合这一特点的整个代数式里的整个因式,而不只代表这个代数式里的某一个因式。如216x是表示2(4x),而不是216x.因此再分解因式时要注意整体与个体之间的关系。
例3分解因式29x-1
错解: 29x-1=(9x+1)(9x-1),错在29x-1只能写为2(3x)不能写为29x. 正解: 29x-1=(3x+1)(3x-1).
四、要注意分解完整
因式分解即是把一个多项式分解为几个不能再分解的因式的乘积形式,因式分解需要分解到不能再分解为止。
例4分解因式4216x-72x+81
错解: 4216x-72x+81=22(4x-9),很多学生就分解到此为止,但没有注意到24x-9还可以分解。因为24x可以写成2(2x),9可以写成2(3),故24x-9符合平方差公式的特点应继续分解。
正解: 4216x-72x+81=22(4x-9)=2[(2x+3)(2x-3)]=22(2x+3)(2x-3) 例5分解因式4x-9 (在实数范围内)
错解: 4x-9=22(x+3)(x-3),错在许多学生还未注意到2(x-3)中的“3”还可以写为
2(3),因此2(x-3)写为2x-2(3),这就符合平方差公式的特点应继续分解。
正解: 4x-9=22(x+3)(x-3)=2(x+3)(x+3)(x-3) 五、应注意因式与整式乘法的关系
因式分解是要把一个多项式分解为几个整式的乘积形式;然而整式的乘法是要把几个正式的乘积形式化成一个多项式的形式。 例6分解因式4224a-2ab+b.
错解: 4224a-2ab+b=222(a-b)=22(a+b)(a-b)=2222(a+2ab+b)(a-2ab+b),错在又把22(a+b)(a-b)化为了2222(a+2ab+b)(a-2ab+b)
正解: 4224a-2ab+b=222(a-b)=22(a+b)(a-b)。
