Question

已知a,b,c都是正数，且abc=8,求证：log2(2+a)+log2(2+b)+log2(2+c)>=6

Answer 1

用均值不等式 

 

有根据不等式的性质，

  

这是利用对数函数的单调性

Answer 2

你好
log2(2+a)+log2(2+b)+log2(2+c)
=log2[(2+a)(2+b)(2+c)]
=log2[abc+2(ab+ac+bc)+4(a+b+c)+8]
由三项均值不等式
ab+ac+bc≥3（3√a²b²c²)=12 (3√a²b²c² 是a²b²c²的立方根）
当且仅当a=b=c时等号成立
a+b+c≥3（3√abc)=6
当且仅当a=b=c时等号成立
所以abc+2(ab+ac+bc)+4(a+b+c)+8≥64 （a+b+c时等号成立）
即(2+a)(2+b)(2+c)≥64
所以log2(2+a)+log2(2+b)+log2(2+c)≥6

Answer 3

同底的几个log相加，等于log里面的真数乘起来，即：
log2(2+a)+log2(2+b)+log2(2+c)
=log2((2+a)*(2+b)*(2+c))
=log2(8+abc+4a+4b+4c+2ab+2bc+2ac)
这时候，abc先换成8，变成：
=log2(8+8+4a+4b+4c+2ab+2bc+2ac)
=log2(16+4a+4b+4c+2ab+2bc+2ac)
因为有一个定理：A+B>=2倍的根号(A*B)，所以把4a和2bc归为一组，4b和2ac，4c和2ab.
4a+2bc>=2根号(4a*2bc)=2根号(64)=2*8=16
同理，另外两组也大于等于16，
因此原式>=log2(16+16+16+16)=6，得证。