Question

一个三重积分

被积函数为z，积分区域Ω由旋转抛物面z=x^2+y^2和平面z=2y所围成，答案为5/6π，求过程

Answer 1

解：∵解方程组z=x²+y²和z=2y，得x²+(y-1)²=1
∴抛物面z=x²+y²和z=2y所围成的区域在xy平面上的投影是S：x²+(y-1)²=1
故∫∫∫<Ω>zdxdydz=∫∫<S>dxdy∫<x²+y²,2y>zdz
=∫∫<S>[(z²/2)│<x²+y²,2y>]dxdy
=∫∫<S>[(x²+y²)²/2-(2y)²/2]dxdy
=(1/2)∫∫<S>(x^4+y^4+2x²y²-4y²)dxdy
=(1/2)∫<0,2π>dθ∫<0,1>(3+4rsinθ-2r²-4r³sinθ-r^4)rdr
(令x=rcosθ,y=1+rsinθ。则dxdy=rdθdr,0<θ<2π,0<r<1)
=(1/2)∫<0,2π>dθ∫<0,1>(3r+4r²sinθ-2r³-4r^4sinθ-r^5)dr
=(1/2)∫<0,2π>[(3r²/2+4r³sinθ/3-r^4/2-4r^5sinθ/5-r^6/6)│<0,1>]dθ
=(1/2)∫<0,2π>(5/6+8sinθ/15)dθ
=(1/2)(5θ/6-8cosθ/15)│<0,2π>
=(1/2)(5π/3-8/15+8/15)
=5π/6。

Answer 2

对方程组 z=x^2+y^2（1） z=2y （2）
有 x^2+y^2=2y 即 x^2+(y-1)^2=1 在xoy面的投影是这样一个圆
进行柱坐标代换 x=r*cost, y-1=r*sint z=z, 其中0<=r<=1 0<=t<=2π
进行积分，要变量代换。雅克比行列式为 r
积分区域为：0<=r<=1 0<=t<=2π x^2+y^2 <= z<=2y (把x,y用r,t换掉。。我懒得写了）
然后积分。。。先对z积分，再积r,t. 应该就可以了

Answer 3

没有题

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