Question

已知向量a=(2cos²x,√3),b=(1,sin2x),函数f(x)=a*b (1)求函数f(x)的单调增区间 （2）在△ABC中,a,b,c

A,B,C的对边，a=1,且f(A)=3,求△ABC的面积S的最大值。

Answer 1

(1)f(x)=a*b=2cos²x+√3sin2x
=√3sin2x+cos2x+1
=2sin(2x+π/6)+1
由2kπ-π/2≤2x+π/6≤2kπ+π/2,k∈Z
得kπ-π/3 ≤x≤kπ+π/6,k∈Z
增区间 [kπ-π/3 ,kπ+π/6]k∈Z
(2）∵f(A)=2sin(2A+π/6)+1=3
∴ sin(2A+π/6)=1
∵ π/6< 2A+π/6<7π/6
∴ 2A+π/6=π/2, ∴A=π/6
又 a=1,余弦定理：
1=b^2+c^2-2bccosA=b^2+c^2-√3bc
∵ b^2+c^2≥2bc
∴1=b^2+c^2-√3bc≥(2-√3)bc
bc≤2+√3(b=c时取等号）
S=1/2bcsinA≤1/2(2+√3)√3/2
=(2√3+3)/4
△ABC的面积S的最大值为(2√3+3)/4

Answer 2

1） π/6+kπ k∈Z