Question

如图，△ABc中，∠BAc=90°，AB=Ac，AD⊥Bc于D，AE平∠BAD，在△ABC外有一点

如图，△ABc中，∠BAc=90°，AB=Ac，AD⊥Bc于D，AE平∠BAD，在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC
(1)求证:BE=cF
(2)在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC交AD于N，连接ME
求证:①ME⊥BC ②DE=DN

Answer 1

证明：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵FC⊥BC，
∴∠BCF=90°，
∴∠ACF=90°-45°=45°，
∴∠B=∠ACF，
∵∠BAC=90°，FA⊥AE，
∴∠BAE+∠CAE=90°，
∠CAF+∠CAE=90°，
∴∠BAE=∠CAF，
在△ABE和△ACF中，

∠BAE=∠CAF，∠B=∠ACF，AB=AC
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴BE=CF

（2）①过点E作EH⊥AB于H，则△BEH是等腰直角三角形，
∴HE=BH，∠BEH=45°，
∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，
∴DE=HE，
∴DE=BH=HE，
∵BM=2DE，
∴HE=HM，
∴△HEM是等腰直角三角形，
∴∠MEH=45°，
∴∠BEM=45°+45°=90°，
∴ME⊥BC；

②由题意得，∠CAE=45°+1/2×45° =67.5°，
∴∠CEA=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠CAE=∠CEA=67.5°，
∴AC=CE，
在Rt△ACM和Rt△ECM中

CM=CM，AC=CE
∴Rt△ACM≌Rt△ECM（HL），
∴∠ACM=∠ECM= 1/2×45°=22.5°，
又∵∠DAE= 1/2×45°=22.5°，
∴∠DAE=∠ECM，
∵∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，
∴AD=CD= 1/2BC

在△ADE和△CDN中，
∠DAE=∠ECM，AD=CD，∠ADE=∠CDN

 

∴△ADE≌△CDN（ASA），
∴DE=DN．

追问

thank you

在吗？