Question

已知函数Y=f(x)的定义域为（0，+无穷），对于任意正实数a、b都有f(x)+f（y)=f(x·y)。

问：若f(1/3)=-1，求满足不等式f(X)-f[1/(x-2)]≥2的x的取值范围。

Answer 1

令x=y=1
则 f(1)=f(1)+f(1)
∴f(1)=0
令x=x y=1/x
得f(1)=f(x)+f(1/x)=0
∴f(1/x)=-f(x)
再令x=y y=1/x
∴f(y/x)=f(y)+f(1/x)=f(y)-f(x)
∴f(y/x)=f(y)-f(x)
因此 所求不等式f(X)-f[1/(x-2)]≥2
就可转化为f[x(x-2)]≥2
∵f(1/3)=-1=f(1)-f(3)
又∵f(1)=0
∴f(3)=1
又∵f(x)+f(y)=f(x·y)
所以 f(3)+f(3)=f(9)=2
∴f[x(x-2)]≥2 又可转化为
f[x(x-2)]≥f(9)
所以之后要证明函数单调性。
f(1)=0 所以x=1为零点
f(3)＞0 f(1/3)＜0
设0＜x1＜x2
f(x2)-f(x1)=f(x2/x1)
∵x2＞x1
∴x2/x1＞1
由题得 x＞1时 f(x)＞0
∴f(x2/x1)＞0
∴f(x2)-f(x1)＞0
∴f(x) 在(0,+∞)为增函数
∴不等式f[x(x-2)]≥f(9)
就有 x(x-2)≥9
然后解出来就好。 不懂可以问

追问

x(x-2)≥9
您的解答非常好，只是解上面这个不等式有点难啊.....请问您解得多少？

追答

额 好吧 x＞1+√10 或x＜1-√10 请及时采纳。

Answer 2

我也等求答案

Answer 3

haiyoubiedema

追问

就这个问了